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CQFDMathsCe qu'il fallait démontrer
2 Bac SMNombres Complexes — Partie 1 (Forme Algébrique et Trigonométrique)~55 min de lecture & pratique

Forme Algébrique, Module, Argument et Notation Exponentielle

Les nombres complexes constituent un exercice obligatoire et très rentable à l'examen national (3 à 3.5 points). Maîtrise les passages entre forme cartésienne, trigonométrique et exponentielle.

Programme Marocain

Objectifs Pédagogiques Clés

  • Calculer le module et l'argument principal d'un nombre complexe
  • Manipuler les formules d'Euler et de Moivre
  • Résoudre les équations du second degré à coefficients réels et complexes
  • Interpréter les angles et distances dans le plan complexe

Explication Vidéo Magistrale

Forme Algébrique, Module, Argument et Notation Exponentielle
Cours VidéoProf. Jamaa Aknari

Forme Algébrique, Module, Argument et Notation Exponentielle

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Formules & Résultats Fondamentaux

Forme exponentielle et formule d'Euler
z=reiθ=r(cos⁡θ+isin⁡θ),cos⁡θ=eiθ+e−iθ2,sin⁡θ=eiθ−e−iθ2iz = r e^{i\theta} = r(\cos\theta + i\sin\theta), \quad \cos\theta = \frac{e^{i\theta} + e^{-i\theta}}{2}, \quad \sin\theta = \frac{e^{i\theta} - e^{-i\theta}}{2i}

Indispensable pour linéariser les expressions trigonométriques.

Interprétation géométrique du quotient
zC−zAzB−zA=ACABei(AB⃗,AC⃗)\frac{z_C - z_A}{z_B - z_A} = \frac{AC}{AB} e^{i(\vec{AB}, \vec{AC})}

Permet de déterminer la nature exacte d'un triangle ABC.

Modèles de Rédaction Type pour le Bac

Énoncé d'application

Détermination de la nature d'un triangle

Soient les points A,B,CA, B, C d'affixes a=1+ia = 1+i, b=3−ib = 3-i, c=2+2ic = 2 + 2i. Déterminer la nature du triangle ABCABC.
Rédaction pas à pas conforme au barème ministériel :
Calculons le quotient c−ab−a\frac{c - a}{b - a} : c−a=(2+2i)−(1+i)=1+ic - a = (2+2i) - (1+i) = 1 + i. b−a=(3−i)−(1+i)=2−2i=2(1−i)b - a = (3-i) - (1+i) = 2 - 2i = 2(1 - i). Donc c−ab−a=1+i2(1−i)=(1+i)22(12+(−1)2)=2i4=12i\frac{c - a}{b - a} = \frac{1+i}{2(1-i)} = \frac{(1+i)^2}{2(1^2 + (-1)^2)} = \frac{2i}{4} = \frac{1}{2} i. Module : ∣c−ab−a∣=ACAB=12  ⟹  AB=2AC\left|\frac{c - a}{b - a}\right| = \frac{AC}{AB} = \frac{1}{2} \implies AB = 2 AC. Argument : arg⁡(c−ab−a)=(AB⃗,AC⃗)≡π2(mod2π)\arg\left(\frac{c - a}{b - a}\right) = (\vec{AB}, \vec{AC}) \equiv \frac{\pi}{2} \pmod{2\pi}. Le triangle ABCABC est donc rectangle en AA.
Conseil de l'examinateur : Toujours séparer l'interprétation du module (rapport des longueurs) et de l'argument (mesure de l'angle orienté).

Pièges Fréquents & Vigilance le Jour du Bac

Confondre $e^{i\theta}$ et $-e^{i\theta}$

Erreur classique : Écrire que l'argument de −eiθ-e^{i\theta} est θ\theta.
Rédaction correcte : Un module est TOUJOURS strictement positif. −eiθ=eiπ⋅eiθ=ei(θ+π)-e^{i\theta} = e^{i\pi} \cdot e^{i\theta} = e^{i(\theta + \pi)}. L'argument est donc θ+π\theta + \pi.
Justification : Le signe moins devant l'exponentielle complexe modifie l'argument d'un demi-tour ($\pi$).

نصيحة الأستاذ جامع أكناري(Conseil d'Examen)

فالأعداد العقدية، تمرين الوطني كيبدا دايما بمعادلة من الدرجة الثانية (Delta)، من بعد حساب نسبة بحال $\frac{c-a}{b-a}$ لتحديد طبيعة المثلث، وفالأخير الدوران (Rotation) أو التحاكي (Homothétie). راجع هاد الترتيب حيت كيتعاود كل عام بنفس الطريقة!

Entraînement Pratique

Exercices d'Application et d'Approfondissement

Résolvez le problème sur une feuille de brouillon avant d'ouvrir l'indice ou la correction rédigée.

Type Examen National / Régional3.5 pts
~25 min de recherche

Exercice 1 : Équation du second degré et transformations géométriques

Dans le plan complexe rapporté à un repère orthonormé direct (O,u⃗,v⃗)(O, \vec{u}, \vec{v}) : 1. Résoudre dans C\mathbb{C} l'équation : z2−23z+4=0z^2 - 2\sqrt{3} z + 4 = 0. 2. Écrire les solutions sous forme exponentielle. 3. Soit RR la rotation de centre OO et d'angle π3\frac{\pi}{3}. Déterminer l'affixe du point BB, image du point AA d'affixe zA=3+iz_A = \sqrt{3} + i par RR.
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