2 Bac SMCalcul Intégral et Primitives~50 min de lecture & pratique

Intégration par Parties, Primitives et Calcul d'Aires

L'intégration par parties (IPP) est l'outil roi pour calculer les intégrales mêlant polynômes, logarithmes et exponentielles.

Programme Marocain

Objectifs Pédagogiques Clés

Cours VidéoProf. Jamaa Aknari

Explication 100% gratuite & sans publicité intrusive

Formule d'Intégration Par Parties (IPP)

\int_a^b u(x) v'(x) \, dx = \Big[ u(x) v(x) \Big]_a^b - \int_a^b u'(x) v(x) \, dx

Règle mnémonique ALPES pour le choix de u(x) : Arcsin/Arccos, Logarithme, Polynôme, Exponentielle, Sinus/Cosinus.

Calcul de l'aire géométrique

\mathcal{A} = \left( \int_a^b |f(x) - g(x)| \, dx \right) \times \|\vec{i}\| \times \|\vec{j}\|

Toujours multiplier par l'unité d'aire (u.a. = ||i|| × ||j|| en cm²).

Énoncé d'application

Calculer l'intégrale

I = \int_1^e x \ln(x) \, dx

Rédaction pas à pas conforme au barème ministériel :

On pose d'après la règle ALPES :

u(x) = \ln(x) \implies u'(x) = \frac{1}{x}

v'(x) = x \implies v(x) = \frac{x^2}{2}

. Par intégration par parties :

I = \left[ \frac{x^2}{2} \ln(x) \right]_1^e - \int_1^e \frac{1}{x} \cdot \frac{x^2}{2} \, dx

I = \left( \frac{e^2}{2} \ln(e) - 0 \right) - \frac{1}{2} \int_1^e x \, dx = \frac{e^2}{2} - \frac{1}{2} \left[ \frac{x^2}{2} \right]_1^e

I = \frac{e^2}{2} - \frac{1}{4}(e^2 - 1) = \frac{2e^2 - e^2 + 1}{4} = \frac{e^2 + 1}{4}

Conseil de l'examinateur : Ne pas oublier les parenthèses lors de la soustraction du terme à la borne inférieure.

Erreur classique : Donner l'aire sous la forme

\mathcal{A} = 3.5

sans unité.

Rédaction correcte : Si l'énoncé précise que le repère est orthonormé d'unité

2\text{ cm}

, alors

1\text{ u.a.} = 2 \times 2 = 4\text{ cm}^2

. Il faut multiplier le résultat de l'intégrale par

4\text{ cm}^2

Justification : Le barème ministériel retire 0.25 pt si l'unité d'aire n'est pas précisée.

حفظ قاعدة ALPES باش تعرف شكون ديرها u(x) : ديما Logarithme كتسبق Polynôme، و Polynôme كتسبق Exponentielle !

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