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CQFDMathsCe qu'il fallait démontrer
1 Bac Sc.ExpNotions de Logique Mathématique~40 min de lecture & pratique

Les 5 Modes de Raisonnement Indispensables

La logique mathématique est le langage de démonstration universel. Apprends à rédiger un raisonnement par récurrence, par l'absurde ou par disjonction de cas avec une rigueur irréprochable.

Programme Marocain

Objectifs Pédagogiques Clés

  • Utiliser avec précision les quantificateurs $\forall$ et $\exists$
  • Démontrer une propriété par récurrence (initialisation, hérédité, conclusion)
  • Construire une démonstration par l'absurde
  • Appliquer le raisonnement par contraposée

Explication Vidéo Magistrale

Les 5 Modes de Raisonnement Indispensables
Cours VidéoProf. Jamaa Aknari

Les 5 Modes de Raisonnement Indispensables

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Formules & Résultats Fondamentaux

Principe de contraposition
(P  ⟹  Q)  ⟺  (Q‾  ⟹  P‾)(P \implies Q) \iff (\overline{Q} \implies \overline{P})

Pour prouver que P implique Q, il suffit de prouver que non(Q) implique non(P).

Négation d'une proposition quantifiée
∀x∈E,  P(x)‾  ⟺  ∃x∈E,  P(x)‾\overline{\forall x \in E, \; P(x)} \iff \exists x \in E, \; \overline{P(x)}

Pour nier un « quel que soit », il suffit de trouver UN contre-exemple.

Modèles de Rédaction Type pour le Bac

Énoncé d'application

Démonstration classique par récurrence

Montrer par récurrence que pour tout n∈N∗n \in \mathbb{N}^* : 1+2+3+⋯+n=n(n+1)21 + 2 + 3 + \dots + n = \frac{n(n+1)}{2}.
Rédaction pas à pas conforme au barème ministériel :
Soit la proposition P(n):∑k=1nk=n(n+1)2P(n) : \sum_{k=1}^n k = \frac{n(n+1)}{2} pour n≥1n \ge 1. 1. **Initialisation (pour n = 1) :** Membre de gauche : 11. Membre de droite : 1(1+1)2=22=1\frac{1(1+1)}{2} = \frac{2}{2} = 1. Donc P(1)P(1) est vraie. 2. **Hérédité :** Soit n≥1n \ge 1. Supposons que P(n)P(n) est vraie, c'est-à-dire ∑k=1nk=n(n+1)2\sum_{k=1}^n k = \frac{n(n+1)}{2}. Montrons que P(n+1)P(n+1) est vraie, c'est-à-dire ∑k=1n+1k=(n+1)(n+2)2\sum_{k=1}^{n+1} k = \frac{(n+1)(n+2)}{2}. En effet : ∑k=1n+1k=(∑k=1nk)+(n+1)=n(n+1)2+(n+1)=(n+1)(n2+1)=(n+1)(n+22)=(n+1)(n+2)2\sum_{k=1}^{n+1} k = \left( \sum_{k=1}^n k \right) + (n+1) = \frac{n(n+1)}{2} + (n+1) = (n+1) \left( \frac{n}{2} + 1 \right) = (n+1) \left( \frac{n+2}{2} \right) = \frac{(n+1)(n+2)}{2}. Donc P(n+1)P(n+1) est vraie. 3. **Conclusion :** Par le principe de récurrence, pour tout n∈N∗n \in \mathbb{N}^*, la formule est vérifiée.
Conseil de l'examinateur : Ne jamais écrire « supposons que pour tout n, P(n) est vraie » pendant l'hérédité, mais « fixons un entier n et supposons P(n) ».

Pièges Fréquents & Vigilance le Jour du Bac

Confusion dans la négation de « et » et « ou »

Erreur classique : Écrire que la négation de (x>0 et y>0)(x > 0 \text{ et } y > 0) est (x≤0 et y≤0)(x \le 0 \text{ et } y \le 0).
Rédaction correcte : Lois de De Morgan : la négation est (x≤0 OU y≤0)(x \le 0 \text{ OU } y \le 0).
Justification : Il suffit que l'un des deux réels soit négatif pour que la conjonction devienne fausse.

نصيحة الأستاذ جامع أكناري(Conseil d'Examen)

فالبرهان بالترجع (Récurrence)، متبداش بـ « Supposons que pour tout n ». هادي كتعتبر خطأ منطقي فادح ! كتب : « Soit n fixé dans N, supposons P(n) et montrons P(n+1) ».

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